Exercícios de Geometria Analítica

1)Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Resposta

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:

2)Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?

Resposta

Geometria Analítica

Sistema cartesiano de coordenadas.

Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas.

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria anallitica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica,diferencial, discreta e computacional.

Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.

Vídeo Aula - Estatística

Referência: http://www.youtube.com/watch?v=B4L3G30XB7I

continuação da lista de exercícios sugeridas pelo professor Serva do colégio Estadual Thales de Azevedo, Salvador, Bahia.

Questão 04
Os dados abaixo referem-se à altura em cm de uma amostra de 54 universitários de sexo masculino e já estão organizados em ordem crescente.
160 160 161 162 162 162
164 164 165 165 166 166
166 167 167 168 168 169
169 169 169 170 170 170
170 171 171 171 172 172
172 172 173 174 174 174
175 175 175 177 177 177
177 177 178 178 179 179
180 180 183 185 188 192
Calcule: a) média - b) mediana - c) moda

Resolução:
a) Média

MA = 160.2+161.1+162.3+164.2+165.2+166.3+167.2+168.2+169.4+170.4+171.3+172.4+173.1+174.3+175.3+177.5+178.2+179.2+180.2+183.1+185.1+188.1+192.1 
                                                                                          54

= 320+161+486+328+330+498+334+336+676+680+513+688+173+522+525+885+356+358+360+183+185+188+192
                                                                                  54
  MA = 9277  =   Arredondando para 171,80  
               54
b) MEDIANA

mediana = (n+1)

                        2
Me = (54+1)= 55 = 27,5 (entre a posição 27 e 28)
      2         2
Posição 27 = 171 e posição 28 = 171 Me = 171 + 171 = 171
                                                                              2
c)MODA
numero mais repetido dos termos:
Mo = 177 

Questão 05 
A mediana da série de dados { 1, 3, 8, 15, 10, 12, 7 } é :
A) igual a 15
B) igual a 10
C) igual a 8
D) igual a 3,5
E) não há mediana, pois não existe repetição de valores:

Resolução:
colocando em ordem crescente temos:
 1, 3, 7, 8, 10, 12,1
             ↓ 
            Me
Como o numero de series é 7, que é um número ímpar,o termo médio é o 4º.
Logo, a mediana é igual a 8.

Alternativa Correta: C

Questão 06
Segundo o site de VEJA na Internet, 28% da população brasileira é de origem africana, 32% de origem portuguesa, 20% de origem italiana e 20% de outras origens. Qual é a moda quanto à origem ?
A) 32%
B) 20%
C) 32% da população.
D) origem portuguesa.
E) não podemos identificar a moda por falta de dados.

Resolução:A a moda é o número com mais repetições, ou seja, 32% que sao de origem portuguesa.
Alternativa Correta: D

Questão 07
Na série de dados formada por { -1 , -2 , 3 , 4 }:
A) a mediana está entre -2 e 3.
B) a mediana é 0,5.
C) a questão a) e b) estão corretas.
D) a mediana é 2.

E) não existe mediana, pois não há dados repetidos.

Me = -2+3 = 0,5
             2
Alternativa correta: C

Questão 08
Na série de dados formada por { 3 , 1 , 2 , 3 , 6 }:
A) mediana > moda > média.
B) moda < média < mediana.
C) moda = mediana = média.
D) mediana = média e não há moda.
E) média > mediana e não há moda
Resolução:
Ma = 3+1+2+3+6 = 15  = 3
                 5              5

Mo = 3
Alternativa Correta: D

Questão 09
Quando desejamos o ponto médio exato de uma distribuição de freqüência, basta calcular:
A) o desvio médio.
B) a média.
C) a moda.
D) a mediana.
E) qualquer medida de posição
Resolução:
Alternativa Correta: D

Questão 10
Qual medida de tendência central deve ser usada para representar amostras que possuem dados muito discrepantes (diferentes) entre si?
A) moda
B) mediana
C) média
D) amplitude
E) nenhuma delas
Resolução: B

Questões sugeridas na apostila de exercícios da III unidade do professor Serva, colégio Thales de Azevedo, Salvador, Bahia.

Questão 01
ENEM 2012 - Questão 170 - Prova Amarela.
 A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas 
(ME) que se encontram à venda.

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita 
bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y. 
B) Chocolates X e Tecelagem Z.
C) Pizzaria Y e Alfinetes V.
D) Pizzaria Y e Chocolates X.
 E) Tecelagem Z e Alfinetes V.

Resolução:

Calculemos todas as médias (MA):
MA (Alfinetes V) = 200 + 220 + 240   =  660    = 220           
                                         3                       3

MA (Balas W) =  200 + 230 + 200    = 630     = 210
                                      3                       3

MA (Chocolates X) = 250 + 210 + 215 = 675   = 225
                                                3                  3

MA (Pizzaria Y) =  230 + 230 + 230 = 690   = 230
                                          3                    3

MA (Tecelagem Z) = 160 + 210 + 245 = 615 = 205
                                              3                   3

Assim, as empresas que este investidor escolhe comprar são:  Pizzaria Y e Chocolates X
Alternativa Correta: D

Questão 02
ENEM 2012 - Questão 175 – Prova Amarela.

O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é

A) 212.952.  

B) 229.913.  

C) 240.621. 

D) 255.496. 

E) 298.041.

Resolução

Colocando os valores  em ordem crescente, temos:

181.419, 181.796, 204.804, 209.425, 212.952, 246.875, 266.415, 298.041, 299.415, 305.068.

A mediana é a média entre o 5° e o 6° termos. Assim:

Mediana = 212.952 + 246.875  = 459.827 = 229.913,5
                                  2                            2

A parte inteira é 229.913.

 Alternativa Correta: B


Questão 03
ENEM 2010 - Questão 175 – Prova Rosa.
O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato.
 A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.

E) Z < Y < X.

A média X 
X = 0 ⋅ 5 + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1  = 45 = 2,25
                                          20                                                 20

A mediana Y  é o 10° e 11° partidas

Y = 2 + 2 = 2
          2       
A moda Z dos gols marcados é:
Z = 0
Logo, Z < Y < X

Alternativa Correta: E

Atividades  do Livro de matemática Dante volume 3, editora ática 
Pagina 32 questões 28,29 e 30

28)Considere os números 123,130,126 e 102 e calcule:

a) A média aritmética
MA=126+130+126+102/4
MA=484/4=121

b) A média aritmética ponderada (MP),com pesos 2,3,1 e 2,respectivamente
MP=2*126+3*130+1*126+2*102/2+3+1+2
MP=987/8=121,5

c) A moda
MO=126,Pois aparece com maior frequência

29) Durante os setes primeiros jogos de um campeonato,um time marcou,respectivamente,3,2,1,1,4,3 e 2 gols.Determine:

a)a média de gols por partida

MA=3+2+1+1+4+3+2/7

MA=16/7=2,3 gols

b) A moda

MO=1,2 e 3 têm a mesma frequência frequência

c) A mediana

1,1,2,2,3,3,4 Como 7 é ímpar,o termo médio é o 4º,simbolicamente ME=2

30) De segunda a sábado,os gastos com alimentação de uma pessoa foram 15,13,12,10,14 e 14 reais. Determine:

a) A média diária de gastos
MA=15+13+12+10+14+14/6
MA=78/6=13 reais

b) A moda
MO=14,Pois aparece com maior frequência

c) A mediana
ME=10,12,13,14,14,15
ME=13+14/2
ME=27/2=14,5

Atividade  do livro de matemática  Dante, volume 3, editora ática
Pagina  31 questões 23, 25 e 26 

23)Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 3a1,4a2,1a1,0a0,3a2,2a1 e 1a0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma partida,calcule a média aritmética dos gols:

a)marcados

MA=3+4+1+3+2+1/7

MA=14/7=2

b)sofridos

MA=1+2+1+0+2+1+0/7

MA=7/7=1

25)Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos,9 pessoas de 20 e 5 pessoas de 16 anos?

MA=14*6+20*9+16*5/6+9+5

MA=344/20=17,2

26)Calcule a média aritmética ponderada de um aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 2),7,0 na pesquisa (peso 3),9,0 n debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2).

MA=2*8,0+3*7,0+1*9,0+2**5,0/2+3+1+2

MA=56/8=7,0