sexta-feira, 20 de dezembro de 2013
coeficiente angular de uma reta e formas da equação da reta
questões do livro
matemática contexto e aplicações volume 3, editora ática
resolvendo
questão 17
a) x = 3+1 = 2 y= -5 + (-7) = -6 M (2,-6)
2 2
b) x= 5+(-1) = 2 y= -2+(-1) = 3 M (2,3 )
2 2 2 2
c) x= -2+(-4) = -3 y= -4+(-2) = -3 M (-3,-3)
2 2
questão 18
-2 + x = 3 -2+y = -2
2 2
B(8,-2)
pagina 57
Questão 23
a) 0 2 1 0 2
-3 1 1 -3 1
4 5 1 4 5 0 + 8 -15 + 6 -5 -4 = -8 não estão alinhados
b) -1 3 1 -1 3
2 1 1 -3 1
-4 10 1 -4 10 -4 - 12 + 20 - 6 - (-10 ) - (-16) = 24
a, b e c são vértices de um mesmo triângulo
Questão 24
a) 3 5 1 3 5
1 3 1 1 3
x 1 1 x 1 = 0
9+5x+1-5-3-3x =0
5x - 3x = 9 + 1 - 5 - 1
2x = 2
x = 2
2
x =/ -1
A = ( 3, 5)
B = (1,3)
C = (1,1)
Questão 25
x y 1 x y
-1 -2 1 -1 -2 =0
4 2 1 4 2
-2x +4y + (-2) - (-y) - 2x - (-8) = 0
-2x +4y - 2 + y -2x +8 = 0
-4x +5y +6 = 0
P( 0, 6 )
5
matemática contexto e aplicações volume 3, editora ática
questão 17
a) x = 3+1 = 2 y= -5 + (-7) = -6 M (2,-6)
2 2
b) x= 5+(-1) = 2 y= -2+(-1) = 3 M (2,3 )
2 2 2 2
c) x= -2+(-4) = -3 y= -4+(-2) = -3 M (-3,-3)
2 2
questão 18
-2 + x = 3 -2+y = -2
2 2
B(8,-2)
pagina 57
Questão 23
a) 0 2 1 0 2
-3 1 1 -3 1
4 5 1 4 5 0 + 8 -15 + 6 -5 -4 = -8 não estão alinhados
b) -1 3 1 -1 3
2 1 1 -3 1
-4 10 1 -4 10 -4 - 12 + 20 - 6 - (-10 ) - (-16) = 24
a, b e c são vértices de um mesmo triângulo
Questão 24
a) 3 5 1 3 5
1 3 1 1 3
x 1 1 x 1 = 0
9+5x+1-5-3-3x =0
5x - 3x = 9 + 1 - 5 - 1
2x = 2
x = 2
2
x =/ -1
A = ( 3, 5)
B = (1,3)
C = (1,1)
Questão 25
x y 1 x y
-1 -2 1 -1 -2 =0
4 2 1 4 2
-2x +4y + (-2) - (-y) - 2x - (-8) = 0
-2x +4y - 2 + y -2x +8 = 0
-4x +5y +6 = 0
P( 0, 6 )
5
Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
dado um segmento de reta AB tal que A(x1,y1) e B(x2,y2) são pontos distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB
considere
dado um segmento de reta AB tal que A(x1,y1) e B(x2,y2) são pontos distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB
considere
- um segmento com extremidades A(x1,y1) e B (x2,y2);
- o ponto M(x,y), ponto médio do segmento AB
Aplicando o teorema de Tales, temos:
AM = A1M1 =>1 = x - x1 => x-y1 = x2 - x => 2x = x2 + x1 => x = x2 + x1
MB M1B1 x2 - x 2
AM = A2 M2 => 1 = y - y1 => y - y1 = y2 - y => 2y = y2 + y1 + y1 => y = y2 +y1
MB M2 B2 y2 - y 2
a abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades:
x = x2 + x1
2
a ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades:
y = y2 + y1
2
exemplo
Determinar M , o ponto médio de AB, nos seguintes casos:
A(3,-2) e B(-1,-6)
considerando M (mx,yx), temos
Xm = 3 + (-1) = 2 = 1
2 2
Ym = -2 + (-6) = -8 = -4
2 2
logo, M (1,-4)
vídeo com exercícios de Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
quarta-feira, 18 de dezembro de 2013
Curiosidades
Profissões que envolvem geometria analítica
A Geometria Analítica é utilizada em diversos campos de estudos. Os principais desses são: As Engenharias (Produção, Elétrica, Mecânica etc..), Geografia (Cartografia) e a Astronomia (Distanciamento de meteoros e cometas).
.jpg)
O engenheiro elétrico através da associação da Eletrotécnica e a Geometria Analítica elabora, sistemas de automação e controle de consumo de energia nas indústrias. Representado em gráficos e planilhas, relacionando quantos trabalhadores atuam na indústria, as horas de trabalho e quantas máquinas operam. Além disso, ele recorre a Geometria Analítica para poder planejar a distribuição elétrica de uma região, utilizando o conhecimento fundamental da Geometria, ele limita a proximidade das redes de transmissão, tudo representado geometricamente e através de equações.
Profissões que envolvem geometria analítica
A Geometria Analítica é utilizada em diversos campos de estudos. Os principais desses são: As Engenharias (Produção, Elétrica, Mecânica etc..), Geografia (Cartografia) e a Astronomia (Distanciamento de meteoros e cometas).
O engenheiro elétrico através da associação da Eletrotécnica e a Geometria Analítica elabora, sistemas de automação e controle de consumo de energia nas indústrias. Representado em gráficos e planilhas, relacionando quantos trabalhadores atuam na indústria, as horas de trabalho e quantas máquinas operam. Além disso, ele recorre a Geometria Analítica para poder planejar a distribuição elétrica de uma região, utilizando o conhecimento fundamental da Geometria, ele limita a proximidade das redes de transmissão, tudo representado geometricamente e através de equações.
A engenharia produção tem como principal função, otimizar processos e na geometria analítica você estuda métodos matemáticos que podem servir para que se monte modelos matemáticos para esse propósito de otimização de processos além de vários outros aspectos.
A geometria analítica estuda a localização de pontos no plano ou no espaço e as relações decorrentes de diferentes localizações. Foi criada por Descartes, que desenvolveu o sistemas de coordenadas, hoje conhecido por coordenadas cartesianas.
A Geometria analítica também é muito usada para construir jogos, visto no principio da Computação gráfica que serve tanto para projetar simulações para áreas de Engenharia
terça-feira, 17 de dezembro de 2013
Exercícios sobre a distância entre dois pontos no plano cartesiano
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abcissa é nula:
AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo. Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica.
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abcissa é nula:
AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo. Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica.
Solução
Resposta Questão 1
Assinar:
Postagens (Atom)