Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Exemplo  da distância entre dois pontos

 

Fórmula da distância entre dois pontos

introdução ao assunto geometria analítica
vídeo feito por alunas da turma 3m16 do colegio thales de azevedo
como parte da IV unidade.


                                           continuação...
                           

  vídeo sobre condição de alinhamento de três pontos

Distância entre dois pontos

vídeo sobre geometria analítica

Distancia de um ponto a uma reta 

considerando o ponto P(x,y) e a reta r: ax +by + c = 0. Então a distância entre o ponto P e a reta r é dada por

       

Ângulo formado entre duas retas considere as retas

r: y = arx + br

s: y = asx + br

considere o ângulo

coeficiente angular de uma reta e formas da equação da reta

vídeo sobre o coeficiente angular de uma reta

vídeo sobre fomas da equação da reta

questões do livro
 matemática contexto e aplicações   volume 3, editora ática

resolvendo
questão 17
a) x = 3+1 = 2        y= -5 + (-7) = -6       M (2,-6)
         2                               2
b) x= 5+(-1) = 2    y= -2+(-1) = 3            M (2,3 )
          2                        2           2                      2
c) x= -2+(-4)  = -3    y= -4+(-2) = -3        M (-3,-3)
              2                              2

questão 18

-2 + x  = 3     -2+y  = -2
     2                  2
B(8,-2)



pagina 57

Questão 23
a)  0    2    1     0     2
    -3    1     1    -3    1
      4    5     1     4    5              0 + 8 -15 +  6 -5 -4 = -8   não estão alinhados

b)  -1     3   1    -1    3
      2      1   1    -3    1      
     -4     10  1  -4     10          -4 - 12 + 20 - 6 - (-10 ) - (-16)  = 24
 a, b e c são vértices de um mesmo triângulo

Questão 24
a)     3    5    1    3    5
        1    3    1    1    3
        x    1    1    x     1       =  0      
  
 9+5x+1-5-3-3x =0
5x - 3x = 9 + 1 - 5 - 1
2x = 2
x = 2 
      2
x =/ -1

A = ( 3, 5)
B = (1,3)
C = (1,1)

Questão 25
  x     y    1     x     y
 -1   -2    1   -1   -2      =0
   4    2    1     4    2

-2x +4y + (-2) - (-y) - 2x - (-8) = 0
-2x +4y - 2 + y -2x +8 = 0
-4x +5y +6 = 0

P( 0,  6 )
         5

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
dado um segmento de reta AB tal que A(x1,y1) e B(x2,y2) são pontos distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB
 considere

• um segmento com extremidades A(x1,y1) e B (x2,y2);
• o ponto M(x,y), ponto médio do segmento AB

Aplicando o teorema de Tales, temos:

AM = A1M1   =>1 = x - x1  => x-y1 = x2 - x => 2x = x2 + x1 => x = x2  + x1

MB      M1B1             x2 - x                                                                       2

AM = A2 M2 => 1 = y - y1 => y - y1 = y2 - y => 2y = y2 + y1 + y1 => y = y2 +y1

MB     M2 B2             y2 - y                                                                               2

a abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades:

x = x2 + x1

       2

a ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades:

y = y2 + y1

      2

exemplo

Determinar  M , o ponto médio  de AB, nos seguintes  casos:

A(3,-2) e B(-1,-6)

considerando M (mx,yx), temos

Xm = 3 + (-1)  = 2 = 1

              2           2

Ym = -2 + (-6) = -8 = -4

                2           2

logo, M (1,-4)

vídeo com exercícios de Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Curiosidades
Profissões que envolvem geometria analítica 
A Geometria Analítica é utilizada em diversos campos de estudos. Os principais desses são: As Engenharias (Produção, Elétrica, Mecânica etc..), Geografia (Cartografia) e a Astronomia (Distanciamento de meteoros e cometas).

O engenheiro elétrico através da associação da Eletrotécnica e a Geometria Analítica elabora, sistemas de automação e controle de consumo de energia nas indústrias. Representado em gráficos e planilhas, relacionando quantos trabalhadores atuam na indústria, as horas de trabalho e quantas máquinas operam. Além disso, ele recorre a Geometria Analítica para poder planejar a distribuição elétrica de uma região, utilizando o conhecimento fundamental da Geometria, ele limita a proximidade das redes de transmissão, tudo representado geometricamente e através de equações.

A engenharia produção tem como principal função, otimizar processos e na geometria analítica você estuda métodos matemáticos que podem servir para que se monte modelos matemáticos para esse propósito de otimização de processos além de vários outros aspectos.

A geometria analítica estuda a localização de pontos no plano ou no espaço e as relações decorrentes de diferentes localizações. Foi criada por Descartes, que desenvolveu o sistemas de coordenadas, hoje conhecido por coordenadas cartesianas.

A Geometria analítica também é muito usada para construir jogos, visto no principio da Computação gráfica que serve tanto para projetar simulações para áreas de Engenharia

Exercícios sobre a distância entre dois pontos no plano cartesiano

 

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)

Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB² + AC² = BC² (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abcissa é nula:
AB² = ( 0 - 2 )² + ( y - 3 )² = 4 + ( y - 3 )²
AC² = ( 0 - (-4))² + ( y - 1)² = 16 + ( y - 1 )²
BC² = ( 2 - (-4))² + ( 3 - 1 )² = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )² + 16 + ( y - 1 )² = 40 \ ( y - 3 )² + ( y - 1)² = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y² - 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 20 \ 2y² - 8y - 10 = 0 \ y² - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo. Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

 Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica. 

Solução

Resposta Questão 1

Exercício

 

Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.
a) d=√(9+h² ) resposta correta       
b) d=h+3     
c) d=3h   
d) d= √(9+6h+h² )  
e) d=9+h

Solução 
 

Exercício

Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mⁿ é igual a:
a) – 2     
b) 0       
c) √2       
d) 1       
e) ½ resposta correta

Exercício

 

. Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).

 

Solução 

 

 

Exercício

Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?

Solução

 

Exercícios

Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Solução

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:

  

Sistema cartesiano ortogonal

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 

• Eixo das abscissas: reta x. 
• Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 

O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 

O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 

• O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
• O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 

(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P.

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 

• O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
• O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
• O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
• O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
• O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
• O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
• O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Exemplos 

Ao par ordenado de números reais:

• (0,0) está associado o ponto O (origem);
• (3,2) está associado o ponto A;
• (-1,4) está associado o ponto B;
• (-2,-3) está associado o ponto C;
• (2,-1) está associado o ponto D.

Exercícios

resposta:

a) A (2,5)                               b) B (5,2)                            c) C (-4,3)

d) D (-1,-6)                            e) E (3,-4)

Resposta questão 2

Resposta questão 3

A (0,0)

B (2a,0)

C (2a,a)

D (0,a)

 Resposta questão 4

a) P (a,a) com E IR

b) P (a,-a) com E IR

Resposta questão 5

M E IR I 4   < 1 

             3      2

Distância entre dois pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Matemática - Aula 05 - Geometria Analítica II

Publicado em 14/11/2012

Na nossa quinta aula de matemática, o professor Jairo dará continuidade ao ensino da geometria analítica. Vamos rever como se faz uma equação reduzida da reta, coeficientes angulares e lineares e as posições relativas entre duas retas. 

Matemática - Aula 04 - Geometria Analítica I

Publicado em 07/11/2012

Na nossa quarta aula de matemática, o prof. Jairo ensinará os seus alunos virtuais a desenvolver os cálculos de geometria analítica.

Geometria Analítica
Referência:  http://www.youtube.com/watch?v=NP3Tcwci7wI

Atividade  do livro Contexto&Aplicações volume 3 

Pg 59 questão 29

29)Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pelos pontos:

a) A(3,2) e B(-3,-1)                                                d)P1(-1,4) e P2(3,-2)

m=Y2-Y1/X2-XI                                                     m=Y2-Y1/X2-X1

m=(-1)-2/(-3)-3                                                        m=2-4/3-(-1)

m= -3/-6 (simplifica -3/3=1 e -6/3=2)                     m= -2/4 (simplifica -2/2= -1 e 4/2=2)

m=1/2                                                                      m= -1/2 

b) A(2,-3) e B(-4,3)                                              e)P(5,2) e Q(-2,-3)

m=Y2-Y1/X2-X1                                                  m=Y2-Y1/X2-X1

m=3-(-3)/(-4)-2                                                     m=(-3)-2/(-2)-5

m=6/-6                                                                  m= 5/7

m= -1                                                                    

c) P1(3,2) E P2(3,-2)                                          f) A(200,100) e B(300,80)

 m=Y2-Y1/X2-X1                                               m=Y2-Y1/X2-X1

 m=(-2)-2/3-3                                                      m=80-100/300-200

m= -4/0                                                               m= -20/100 (simplifica -20/20= -1 e 100/20=5)

 m=não existe coeficiente angular                   m=-1/5

Historia  da Geometria Analítica
Referencias:
http://www.youtube.com/watch?v=9a4myxXqWh8

Medidas de dispersão exemplo

Resolvendo questões de estatística baseado no livro Dante, volume 3, editora ática.
Postado pelas alunas da turma 3M16: Camila, Iasmim, Jamile e Josilene  Lopes.

Problemas técnicos o vídeo ficou mal editado

slides do vídeo resolvendo exercícios parte 2

Slides do vídeo resolvendo exercícios 

postado por : Camila Diana, Iasmim Ribeiro, Jamile Silva e Josilene Lopes.