Sistema cartesiano ortogonal

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 

• Eixo das abscissas: reta x. 
• Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 

O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 

O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 

• O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
• O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 

(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P.

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 

• O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
• O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
• O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
• O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
• O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
• O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
• O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Exemplos 

Ao par ordenado de números reais:

• (0,0) está associado o ponto O (origem);
• (3,2) está associado o ponto A;
• (-1,4) está associado o ponto B;
• (-2,-3) está associado o ponto C;
• (2,-1) está associado o ponto D.

Exercícios

resposta:

a) A (2,5)                               b) B (5,2)                            c) C (-4,3)

d) D (-1,-6)                            e) E (3,-4)

Resposta questão 2

Resposta questão 3

A (0,0)

B (2a,0)

C (2a,a)

D (0,a)

 Resposta questão 4

a) P (a,a) com E IR

b) P (a,-a) com E IR

Resposta questão 5

M E IR I 4   < 1 

             3      2

Distância entre dois pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente: